Fenomena fisik ini bisa kita lihat hampir setiap hari, misalnya saat kita bermain dengan bola. Misalkan kita melepaskan bola pingpong dari ketinggian tertentu dan melihatnya memantul kembali, bola tersebut tidak akan pernah memantul kembali ke ketinggian semula, dan pemantulan tersebut akan berkurang seiring berjalannya waktu hingga bola tersebut akhirnya berhenti. Dalam hal ini, kita mendapatkan bola pingpong yang dilepaskan dari ketinggian 25m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi sebelumnya. Jadi, pertanyaannya adalah, “Berapakah jumlah seluruh lintasan bola?”
Untuk memecahkan masalah ini, kita bisa menggunakan konsep deret geometri dalam matematika.
Konsep Deret Geometri
Deret geometri adalah deret angka di mana setiap suku setelah yang pertama adalah hasil perkalian suku sebelumnya dengan sebuah konstanta atau rasio yang tetap. Dalam kasus bola pingpong ini, bola tersebut memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali sebelumnya yang berarti rasio dalam kasus ini adalah 4/5 atau 0.8.
Menghitung Jumlah Seluruh Lintasan Bola
Mari kita mulai dengan penerbangan pertama bola, yang dimulai dari ketinggian 25m. Pada titik ini, lintasan bola adalah 25m. Bola tersebut memantul kembali dengan ketinggian 4/5 dari 25m, atau 20m, menambah 2 kali pantulan ini (naik dan turun) atau 40m ke total lintasan sebelum memantul kembali lagi.
Bola kemudian memantul kembali dengan ketinggian 4/5 dari 20m, atau 16m, menambahkan 2 kali pantulan ini atau 32m ke total lintasan. Proses ini berlangsung terus menerus dengan masing-masing pemantulan memberikan kontribusi sebesar dua kali ketinggian pantulannya (karena bola tersebut naik dan turun) ke total lintasan.
Oleh karena itu, jumlah seluruh lintasan bola bisa dihitung sebagai 25m ditambah 2 kali jumlah deret geometri dengan suku pertama 20m dan rasio 4/5. Secara matematis, jumlah seluruh lintasan bola dinyatakan sebagai:
Di mana:
- S = Jumlah seluruh lintasan bola
- s_1 = suku pertama deret geometri (20m dalam hal ini)
- r = rasio deret (4/5 atau 0.8 dalam hal ini)
- n = jumlah suku dalam deret.
Karena pemantulan ini berlangsung terus menerus tampa batas (teoretis), kita bisa katakan n mendekati tak hingga (∞).
Anda dapat memasukkan persamaan ini ke dalam sebuah kalkulator atau program komputer untuk mendapatkan jawaban numeriknya. Namun, perhatikan bahwa dengan n mendekati ∞, r^n akan menjadi 0, dan rumus jumlah deret geometri tak hingga menjadi:
Selanjutnya, memasukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan ini, kita bisa memperoleh jumlah seluruh lintasan bola.
Kesimpulan
Dengan memahami konsep deret geometri dan cara kerja pemantulan sebuah bola, kita dapat menghitung jumlah seluruh lintasan bola pingpong yang dilepaskan dari ketinggian 25m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi sebelumnya. Metode ini sangat efektif dalam memecahkan berbagai masalah serupa yang melibatkan pergerakan objek yang memantul atau berulang dengan model matematika tertentu.
